Dérivée du CO₂ et anomalie de température

1 Introduction

Plusieurs auteurs ont trouvé une corrélation entre la dérivée du CO₂ par rapport au temps et l’anomalie de température. Par exemple Wang 2019, Hocker 2020, Shiers 2014. Cette dernière analyse a été récemment mise à jour: Clutz 2023. Sur le site de science-climat-énergie, en décembre 2022, JC Maurin a décrit des résultats analogues dans son analyse de l’influence de la «température» sur la vitesse de croissance du CO₂ atmosphérique . Voir Maurin 2022. L’analyse de Hocker a été réfutée sur skepticalscience, mais avec une argumentation peu convaincante.

Cette modélisation produit des résultats incohérents. A température constante, le CO₂ peut augmenter ou diminuer indéfiniment.

Si l’on effectue ce genre d’analyse avec une longue série de température dont la droite de tendance a une pente constante dans le temps, on obtient une évolution quasi-parabolique du CO₂ en fonction du temps qui ne dépend pas de la pente de la droite de tendance de la série de température. On peut par exemple reconstituer la même évolution du CO₂ avec deux relevés de température ayant des tendances linéaires complètement différentes. Si l’on remonte dans le passé, le CO₂ diminue avant de remonter indéfiniment, quelle que soit la pente de la droite de température, qu’elle soit positive ou négative.

En réalité, cette modélisation est une corrélation fallacieuse dans laquelle la dérivée du CO₂ ne dépend pas de la température mais du temps. Il n’y a donc aucun modèle physique sous-jacent, il ne s’agit que d’une corrélation temporelle.

Remarque:

Dans les graphiques qui suivent, les droites verticales de couleur rose ou noire correspondent aux transitoires choisis par JC Maurin dans son article de 2022. La même technique de calcul que la sienne a été utilisée dans toutes les analyses par transitoires. Voir Maurin 2022.

2 Relevé du CO₂ (Mauna Loa)

Le CO₂ est très bien approché par une parabole temporelle. Voir Figure 1.

\[ CO_2 = a \times t^2 + b \times t + c \tag{1}\]

Figure 1: L’approximation du CO₂ par une parabole temporelle est presque parfaite.

La dérivée de cette parabole est une droite donnée par l’équation \[ \frac {d[CO_2]}{dt} = 2 \times a \times t + b \tag{2}\]

La dérivée du CO₂ peut également être évaluée numériquement, par lissage après avoir fait abstraction des variations saisonnières. Voir Figure 2.

Figure 2: Approximation de la dérivée numérique des observations de CO₂ par une droite.

3 Anomalie de température UAH

L’anomalie de température UAH a une tendance linéaire. Voir Figure 3.

Figure 3: La série de température UAH et sa droite de tendance. Dans les analyses de régression, l’intégrale d’une série raisonnablement linéaire et de sa tendance produisent des résultats très voisins. Voir Figure 4, Figure 9, Figure 13, Figure 17, Figure 21, Figure 25.

4 Corrélation dérivée du CO₂ et anomalie de température UAH

Les tendances de la dérivée du CO₂ et de l’anomalie de température étant toutes les deux linéaires, on poura toujours exprimer l’une en fonction de l’autre en utilisant deux coefficients, en les choisissant judicieusement pour avoir un bon ajustement.

Si on a par exemple deux droites

\[ \begin{align} y_1 & = a_1 + b_1 \times t \\ y_2 & = a_2 + b_2 \times t \end{align} \] On pourra toujours (sauf si \(b_2 = 0\)) calculer a et b pour que \[ y_1 = a \times y_2 + b \]

Il suffit de prendre

\[ \begin{align} a & = b_1 / b_2 \\ b & = (a_1 \times b_2 - a_2 \times b_1)/b_2 \end{align} \]

Inversément, on pourrait calculer c et d de telle manière que

\[ y_2 = c \times y_1 + d \] Ceci n’implique aucune relation de causalité entre les 2 séries. Les pentes des séries n’ont pas d’importance (sauf si celle de la seconde est nulle), et elles peuvent même être de signe opposé.

Supposons donc que la relation entre la dérivée du CO₂ et la température ait la forme suivante:

\[ \frac {d[CO_2]}{dt} = a \times \Delta T + b \tag{3}\]

En intégrant l’ Équation 3 de part et d’autre par rapport au temps, on obtient

\[ CO_2 = a \times \int \Delta T \ dt + b \times t + c \tag{4}\]

Si dans l’Équation 4, on remplace \(\Delta T\) par son approximation linéaire \(\alpha + \beta \times t\), on obtient

\[ \begin{align} CO_2 & \approx a \times \int (\alpha + \beta \times t) \ dt + b \times t + c \\ & \approx a\times \beta \times \ t^2 / 2 + (a \times \alpha + b )\times t + c \end{align} \tag{5}\]

C’est une parabole temporelle équivalente à celle de l’Équation 1. La température a disparu de l’équation et le CO₂ ne dépend plus que du temps. Les régressions suivant l’Équation 1 et l’Équation 4 sont quasiment équivalentes. Voir Figure 29.

L’Équation 4 est préférable à l’Équation 3 parce qu’il est plus facile de calculer l’intégrale d’une série temporelle que d’évaluer numériquement sa dérivée.

Le calcul des valeurs de a, b et c qui produisent le meilleur ajustement se fait généralement par régression linéaire.

On peut également déterminer a et b manuellement. C’est ce que fait JC Maurin avec son approche des transitoires basée sur des considérations physiques. Il faut ensuite fixer c à la valeur du CO₂ au début de la période. Ceci ne produira cependant jamais un meilleur ajustement au sens des moindres carrés que celui calculé par régression linéaire.

Le résultat que l’on obtient par régression conformément à l’Équation 4 est très voisin de la parabole temporelle précédemment trouvée, parce que la série UAH ayant une tendance linéaire, son intégrale est quasiment parabolique. Voir Figure 4.

Figure 4: La régression de l’Équation 4 produit une quasi-parabole très voisine de la parabole temporelle suivant l’Équation 1.

Connaissant les valeurs de a et b, on peut estimer la dérivée du CO₂ par l’Équation 3 et la comparer avec la dérivée numérique des observations. Voir Figure 5.

Figure 5: Il y a une bonne corrélation entre la dérivée numérique lissée des observations et la dérivée donnée par l’Équation 3, qui oscillent toutes les deux autour de la tendance temporelle donnée par l’Équation 2.

Comparons maintenant l’approche des points transitoires avec le calcul par régression:

Tout d’abord dans le plan \(x=\Delta T, y=d[CO_2]/dt\). Voir Figure 6.

Figure 6: .

En se basant sur des considérations physiques, les transitoires ont été choisis dans une phase froide et une phase chaude. Il n’y a pas beaucoup de points d’observation en dehors de l’intervalle de température entre les transitoires. Ceci explique pourquoi la droite des transitoires n’est pas trop différente de celle obtenue par régression.

Comparée à cette dernière,

• La pente de la droite des transitoires est un peu trop forte.

• La dérivée du CO₂ est un peu trop faible au transitoire 1, et un peu trop forte au transitoire 2

Si les 2 points des transitoires étaient situés sur la droite obtenue par régression, on obtiendrait le même ajustement que par régression.

Comparons maintenant l’estimation du CO₂ par les transitoires avec les observations. Voir Figure 7.

Figure 7: .

L’ajustement n’est pas mauvais du tout. La pente un peu trop forte de la droite des transitoires donne trop de courbure à la quasi-parabole.

Le CO₂ en 2020 est très voisin de l’observation. Ceci s’explique par le fait que les coefficients a et b dérivés des 2 transitoires satisfont quasiment à la relation

\[ CO_2[2020] - CO_2[1980] = a \times \int_{1980}^{2020} \Delta T dt + b \times (2020 - 1980) \tag{6}\]

Quand cette relation est satisfaite, les estimations de CO₂ passent par les observations de début et fin de période.

5 Calculs avec des séries fictives de température

5.1 Cas 1

Répétons tous les calculs précédents avec une série fictive de température, en changeant simplement le signe de la température originale. Voir Figure 8.