Deux méthodes de calcul de la température moyenne
Moyenne(T(rayonnement)) vs T(moyenne(rayonnement))
1 Modifications 2026-10-01
Sous le prétexte que la température étant une grandeur intensive, il serait interdit de faire des moyennes et le calcul d’anomalies n’aurait aucun sens. Un exemple a été ajouté pour montrer que cette affirmation est fausse si on calcule les moyennes en pondérant les températures par le cosinus de la latitude, et en se basant sur un profil moyen de température par latitude, identique pour toutes les longitudes.
Le but n’est pas de prouver que la moyenne de la température d’un point situé sur l’équateur et celle d’un point situé à un Pôle a une signification physique, mais que si la température a augmenté d’une valeur \(\Delta T\) en chaque point de la surface terrestre, il est légitime d’en conclure que la température moyenne globale a augmenté de quasiment la même valeur.
2 Calcul initial
On fait souvent la remarque que la formule de Stefan-Boltzman ne peut être appliquée au rayonnement moyen émis par la surface terrestre parce que la température de surface n’est pas spatialement homogène, qu’elle varie entre le jour et la nuit, et qu’on ne tient pas compte de l’inertie thermique des océans et des sols.
C’est théoriquement exact, mais il faut voir quelle est l’ampleur de l’erreur introduite par ce genre de calcul.
Un modèle thermique simple montre que si la surface est soumise à un rayonnement périodique quelconque, la température évoluera autour d’une constante qui dépend de la moyenne du rayonnement (harmonique 0 de la décomposition en série de Fourier). Voir ici.
L’amplitude thermique journalière n’est que de quelques degrés à la surface des océans. Pour les stations terrestres, elle vaut environ une dizaine de degrés sous les latitudes modérées, et peut monter jusqu’à 30 degrés dans les déserts.
L’amplitude thermique saisonnière est de l’ordre de 12 degrés dans l’hémisphère Nord , vaut environ 6 degrés dans l’hémisphère Sud, et à peu près 4 degrés globalement.
Dans le pire des cas (déserts), l’écart par rapport à la moyenne ne représente qu’environ 5% lorsqu’on travaille avec des températures exprimées en °K.
Les températures observées varient peu en longitude et beaucoup plus en latitude. C’est dû au fait que le rayonnement solaire incident journalier est quasiment indépendant de la longitude.
Pour tenir compte de l’inertie thermique, on peut donc considérer en première approximation qu’ à un instant donné, le profil de la température le long d’un méridien est le même pour toutes les longitudes.
Pour fixer les idées, supposons qu’un jour ce profil moyen de température selon un méridien soit de la forme suivante, x représentant la latitude en radians:
Dans ce profil, la température moyenne à l’équateur est égale à 28 °C et vaut -10 °C aux Pôles.
La moyenne de la température, pondérée par le cosinus de la latitude, est égale à
avec une puissance correspondante de 396 W/m2:
Le rayonnement moyen, également pondéré par le cosinus de la latitude, obtenu en appliquant l’équation de Stefan-Boltzmann localement, est égal à
Ceci représente moins d’un pourcent d’écart par rapport à la valeur précédente.
Si on fait le calcul inverse avec cette dernière valeur, on obtient une température correspondante de 16.6 °C.
L’écart de cette valeur par rapport aux 16 degrés est à peu près égal à 0.2 % si les températures sont exprimées en °K.
On peut donc conclure que dans le cas des températures terrestres, en pratique les différences entre les deux techniques de calcul sont négligeables, même si l’on s’écarte du cadre théorique.
3 Cas d’une augmentation uniforme de température
Supposons une augmentation uniforme de 1 °K en chaque point de la surface terrestre.
Par rapport au calcul initial, la température moyenne vaut maintenant
Le rayonnement moyen vaut
La température moyenne globale calculée avec ce rayonnement moyen vaut
L’anomalie de température moyenne globale vaut
Ceci représente une erreur imperceptible de 2 millièmes de degré.
On peut raisonnablement en conclure que si les anomalies locales ne sont pas distribuées de manière fort inhomogène, une augmentation de l’anomalie globale de température correspond à une augmentation similaire de la température moyenne.